Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: by Josef Trölß

By Josef Trölß

Das Buch richtet sich an Sch?ler, Studenten, Naturwissenschaftler sowie Anwender, die sich ?ber die Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier- und Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen und Differenzengleichungen informieren und die Vorz?ge von Mathcad nutzen m?chten. Es stellt die theoretischen Grundlagen zusammenfassend dar und bietet in der three. Auflage noch mehr Beispiele. Au?erdem wurde es entsprechend der Mathcad model 14 ?berarbeitet.

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Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen, 3. Auflage

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Diese Reihe konvergiert aus den oben angeführten Überlegungen im Intervall -1 < x d1. 2 p3 ( x)  ln ( 1  x) Reihen x = 0 grad o x  ∞ ln ( 1  x) =  x 2 3  x 3 4  x 4 5  x 5 n ¦ n 1 x n Taylorreihe für ln(1-x) mit der Entwicklungsstelle x 0 = 0. Diese Reihe konvergiert im Intervall -1 d x <1. Vorteilhafter zur Berechnung von Näherungswerten ist die Reihe für folgende Funktion: §1 ©1 ln ¨ 5 n1 n lim 2 x· ¸ = ln ( 1  x)  ln ( 1  x) x¹ Seite 35 Taylorreihen 3 5 § 1  x · Reihen x = 0 grad o 2 ˜ x  2 ˜ x  2 ˜ x p4 ( x)  ln ¨ ¸ 3 5 © 1  x¹ §1 ©1 ln ¨ ∞ x· = 2˜ ¸ x¹ 2˜n  1 x ¦ n Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0.

Wie groß ist der prozentuelle Fehler höchstens, wenn bei einem Kreisabschnitt statt der Kreisbogenlänge b die Sehnenlänge s genommen wird und der Winkel D = 30° beträgt? 4597 ˜ r Die Ergebnisse unterscheiden sich nicht! 4597 ˜ r Prozentueller Fehler: § α· ¸ ©2¹ b = r˜ α Bogen- und Sehnenlänge s = 2 ˜ r ˜ sin ¨ § α · = 2 ˜ r ˜ § α  sin § α · · ¸ ¨ ¨ ¸¸ ©2¹ ©2 © 2 ¹¹ Differenz von Bogenlänge und Sehne b  s = r ˜ α  2 ˜ r ˜ sin ¨ 3 5 7 9 11 α ˜r α ˜r α ˜r α ˜r α ˜r §α § α ·· 2 ˜ r ˜ ¨  sin ¨ ¸ ¸ Reihen α 10 o     24 1920 322560 92897280 40874803200 ©2 © 2 ¹¹ Die Differenz von Bogenlänge und Sehne ist sicher kleiner als das erste Glied der Reihe (alternierende Reihe).

9: Die Funktion f(x) = cos2 (x-x0 ) besitzt um die Stelle x 0 die Potenzreihendarstellung: 1 2 1 2 2 = 1  x  x0 2  3 ˜ x  x0 4  45 ˜ x  x0 6  315 ˜ x  x0 8  14175 ˜ x  x0 10  .... cos x  x0 Die Funktion f(x) soll um die Stelle x 0 = 0 und x 0 = 1 einerseits durch ein Approximationspolynom, das durch Abbruch der Reihe nach dem sechsten Glied entsteht, und andererseits durch ein Interpolationspolynom 4. Grades angenähert und grafisch dargestellt werden. ORIGIN festlegen ORIGIN  0 2 gegebene Funktion f x x0  cos x  x0 Approximationspolynom (Reihenabbruch nach dem sechsten Glied): 1 2 1 2 2  3 ˜ x  x0 4  45 ˜ x  x0 6  315 ˜ x  x0 8  14175 ˜ x  x0 10 p10 x x0  1  x  x0 Interpolationspolynom 4.

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